Hola Christian, te comento que esta web no esta hecha con WordPress. Me parece que se trata de una web a medida.

En cualquier caso, no puedo decirte acá el paso a paso de como hacerlo, pero puedo darte un punto de partida.

Comenzamos por entender que si cambias de pagina, entonces no tienes reproducción de audio realmente continua. Entonces para lograr este efecto que esta web tiene, puedes usar una de estas tres estrategias en el diseño de tu web:

Opción 1: Abrir tu reproductor en un POPUP. Es una solución funcional pero poco practica pues muchos navegadores bloquean los popups. Quizás pudieras abrir el reproductor en otra ventana usando _target

Opción 2: Coloca el reproductor en un frame. Quizás esta solución sea mas conveniente que la anterior.

Opción 3: La que yo creo que sucede en este sitio en particular, y es que no navegas realmente a otras páginas, sino que todo ese cambio se hace con AJAX y, por lo tanto, no se refresca la página, sino que solo se actualiza o cambia ciertas partes de la estructura del sitio.

El mas fácil de implementar de lo antes indicado, es el POPUP.

Espero te sirva de alguna guía esta información. Saludos

NOTA: No he trabajado con este plugin, pero promete una rápida navegación y que el sitio no recargue usando AJAX para WordPress, quizás quieras probarlo https://wordpress.org/plugins/ajax-press/